La généralisation algébrique: Un processus mathématique peu développé chez les élèves à la fin de l’école secondaire

Algebraic generalization: An underdeveloped mathematical process in students at the end of secondary school

¹ Université de Sherbrooke, Sherbrooke, Québec, Canada,
² OIPA : Observatoire internationale de la pensée algébrique (https://www.oipa.education).

^* Corresponding author: Hassane.Squalli@USherbrooke.ca

Résumé

Généraliser est un processus essentiel de l’activité mathématique. Son apprentissage au primaire et au secondaire ne va pas de soi. Souvent, les élèves construisent en actes des généralités à l’insu de l’enseignant. Ces généralités peuvent être vraies ou fausses sans qu’elles soient questionnées par l’élève et par l’enseignant. Nous faisons l’hypothèse que ce processus est faiblement développé chez les élèves de l’école primaire et secondaire. Pour la vérifier, nous avons mené une recherche auprès d’un échantillon composé de 76 étudiants inscrits dans un programme universitaire de premier cycle et ayant suivi majoritairement une formation au secondaire non spécialisée en mathématiques. Nous leur avons soumis le problème suivant: Si n est un entier naturel, le nombre n² + n + 41 est-il, 1) toujours premier? 2) quelquefois premier? ou jamais premier? Justifiez votre réponse. L’analyse des réponses porte sur la nature arithmétique ou algébrique de la généralisation ainsi que sur la qualité des justifications. Nos résultats montrent que 75% des répondants manifestent une généralisation à tendance arithmétique: la généralisation est formulée à partir de quelques essais numériques. Alors que 25 % des réponses manifeste des généralisations à tendance algébrique: la généralisation est formulée à partir d’une analyse de la structure syntaxique de l’expression n² + n + 41. Ces résultats pointent selon nous une lacune importante de l’enseignement des mathématiques à l’école primaire et secondaire.

Abstract

Generalizing is an essential mathematical process but doesn’t have this importance in primary and secondary school. Often, the students construct generalities in action without the knowledge of the teacher. These generalities can be true or false without being questioned by the student and the teacher. We hypothesize that this process is poorly developed in primary and secondary school students. To verify this, we conducted a research on a sample of 76 students enrolled in an undergraduate university program, most of whom had received non-specialized high school training in mathematics. We presented them the following problem: n is a natural number, is the number n² + n + 41, 1) always a prime number? 2) sometimes a prime number? or never a prime number? Justify your answer. The analysis of the answers focuses on the arithmetic or algebraic nature of the generalization as well as the quality of the justifications. Our results show that 75% of the respondents are arithmetic generalization: the generalization is formulated from a few numerical tests. While 25% of the answers show algebraic generalizations: the generalization is formulated from an analysis of the syntactic structure of the expression n² + n + 41. These results point out, in our opinion, an important gap in the teaching of mathematics in elementary and secondary school.